Question

關(guān)于函數(shù)有下列四個個結(jié)論：
①f（x）是奇函數(shù)．
②當(dāng)x＞2003時，．
③f（x）的最大值是．
④f（x）的最小值是．
其中正確結(jié)論的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：依次分析命題：①運用f（-x）和f（x）關(guān)系，判定函數(shù)的奇偶性；②取特殊值法，判定不等式是否成立；③④運用
sin²x=進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用cos2x和（ ）^|x|，求函數(shù)f（x）的最值，綜合可得答案．
解答：解：∵函數(shù)滿足f（-x）=sin²x-+=f（x），故f（x）是偶函數(shù)，故①不正確．
對于結(jié)論②，取特殊值當(dāng)x=1000π時，x＞2003，sin²1000π=0，且（ ）^1000π＞0，
∴f（1000π）=-（ ）^1000π＜，因此結(jié)論②錯．
對于結(jié)論③，又f（x）=-（ ）^|x|+=1-cos2x-（ ）^|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-≤1-cos2x≤，（ ）^|x|＞0．故1-cos2x-（ ）^|x|＜，即結(jié)論③錯．
對于④，而cos2x，（ ）^|x|在x=0時同時取得最大值，
所以f（x）=1-cos2x-（ ）^|x|在x=0時可取得最小值-，即結(jié)論④是正確的．
故答案為 ④．
點評：本題以具體函數(shù)為載體，考查了函數(shù)奇偶性的判斷及借助不等式知識對函數(shù)值域范圍進(jìn)行判斷，涉及到函數(shù)奇偶性的判斷，同時還涉及到三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的范圍問題，利用不等式的放縮求新函數(shù)的范圍，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．