Question

若實(shí)數(shù)m，n為關(guān)于x的一元二次方程Ax²＋Bx＋C＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有Ax²＋Bx＋C＝A(x－m)(x－n)，由系數(shù)可得：m＋n＝－，且m·n＝．設(shè)x₁，x₂，x₃為關(guān)于x的方程f(x)＝x³－ax²＋bx－c＝0，(a，b，c∈R)的三個(gè)實(shí)數(shù)根．

(1)寫出三次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；即x₁＋x₂＋x₃＝_________；x₁x₂＋x₂x₃＋x₃x₁＝_________；x₁·x₂·x₃＝_________

(2)若a，b，c均大于零，試證明：x₁，x₂，x₃都大于零

(3)若a∈Z，b∈Z，|b|＜2，f(x)在x＝α，x＝β處取得極值，且－1＜α＜β＜1，求方程f(x)＝0三個(gè)實(shí)根兩兩不相等時(shí)，實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　　 　　(2)由(1)知　即全為正實(shí)數(shù)或一正兩負(fù) 　　假設(shè)中有一個(gè)為正數(shù)，兩個(gè)為負(fù)數(shù)，不妨設(shè) 　　　即　又 　　∴ 　　 　　矛盾， 　　∴都大于零． 　　(3)則的兩個(gè)不等實(shí)根為 　　∵　∴ 　　可得 　　又　∴　∴　又　∴ 　　即 　　令得， 　　即在處取得極大值，在處取得極小值． 　　∵方程三個(gè)實(shí)根兩兩不相等， 　　∴　得