Question

已知F₁、F₂是雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，若PF₁=2PF₂，∠F₁PF₂=60°，則雙曲線(xiàn)C的離心率為

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題設(shè)條件，利用余弦定理能夠求出|PF|=

2 3

3

c，再由雙曲線(xiàn)定義可以推導(dǎo)出c=

3

a，從而求出該雙曲線(xiàn)的離心率．

解答：解：設(shè)|PF₁|=2x，|PF₂|=x，|F₁F₂|=2c，
∵∠F₁PF₂=60°，
∴cos60°=

(2x)2+x2-(2c)2

2•2x•x

=

1

2

⇒x=

2 3

3

c；
∴|PF₁|=2×

2 3

3

c；|PF₂|=

2 3

3

c；
∵|PF₁|-|PF₂|=2a
∴c=

3

a．
∴e=

3

．
故答案為：

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察栓曲線(xiàn)的基本性質(zhì)，借助余弦定理解決圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題是解決高考試題的一種常規(guī)方法．