Question

已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），，在有窮數(shù)列（n=1，2，…10）中，任意取正整數(shù)k（1≤k≤10） 且滿足前k項和大于126，則k的最小值為（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

Answer 1

【答案】分析：由于f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），即F（x）=，求導得：所以函數(shù)F（x）在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，利用f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），，求出F（x）的解析式，利用數(shù)列求和公式及方程的思想即可．
解答：解：因為f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
即F（x）=，得：F^′（x）=＞0，所以函數(shù)F（x）在R上為由單調(diào)遞增函數(shù)，
又因為：f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1），所以F（x）==a^x（a＞1），
利用?F（1）+F（-1）=a+⇒a=2，
所以F（x）=2^x，所以在有窮數(shù)列（n=1，2，…10）中，
任意取正整數(shù)k（1≤k≤10） 且滿足前k項和大于126，
則k的最小值為：2+2²+2³+…+2^k＞126⇒＞126⇒a_min=7．
故選B．
點評：此題考查了構(gòu)造新函數(shù)并利用條件及導函數(shù)判斷出該函數(shù)的單調(diào)性，還考查了等比數(shù)列的求和公式即不等式的準確求解．