Question

【題目】設(shè)函數(shù)， （）.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為； 時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為;（Ⅱ）0.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即為使導(dǎo)函數(shù)大于零的區(qū)間，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分段討論 的不同取值范圍時(shí)的單調(diào)增區(qū)間即可.

（Ⅱ）單調(diào)遞增，存在唯一，使得，即，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，所以 求得的范圍，得到的范圍，得到最小整數(shù)值.

試題解析：（Ⅰ）

（）

①當(dāng)時(shí)，由，解得；

②當(dāng)時(shí)，由，解得；

③當(dāng)時(shí)，由，解得；

綜上所述，

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為；

時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， ， ， ，

所以單調(diào)遞增， ， ，

所以存在唯一，使得，即，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以

，

記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，

所以，即，

由，且為整數(shù)，得，

所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.

點(diǎn)晴:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)、不等式等知識. 解答此類問題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò). 解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．(2)將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理．