Question

(本小題滿分12分)

四面體中，分別是的中點(diǎn)，

(1)求證：平面;

(2)求異面直線與所成角的余弦值；

(3)求點(diǎn)到平面的距離。

Answer 1

解：方法１：（1）證明：連接,已知為中點(diǎn)，

，

故,

所以,,在中，

,所以,則      

,又,故平面.   （4分）

(2)取中點(diǎn),連接,又為中點(diǎn)，則∥,∥,

所以直線與所成的銳角就是異面直線與所成角，在中，,又為的斜邊上的中線，故,所以,即異面直線與所成角的余弦值為。          （ 8分）

（3）（體積法）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?sub>，

即有,又,設(shè)，則由余弦定理有

，即有，為等腰三角形，而，等腰三角形底邊上的高為，故的面積為。

則而,故，點(diǎn)到平面的距離為。     （12分）

方法２：（１）同方法１．

　　�。ǎ玻┯桑ǎ保┲�，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，則

中點(diǎn)為，所以,

所以

即異面直線與所成角的余弦值為.            （8分）

（３）設(shè)平面的法向量為，又

則所以，令得，即，

又，則點(diǎn)到平面的距離.               （12分）

(其他解法酌情計(jì)分)