Question

已知圓C經(jīng)過A（0，1），B（4，a）（a∈R）兩點．
（1）當a=3，并且AB是圓C的直徑，求此時圓C的標準方程；
（2）當a=1時，圓C與x軸相切，求此時圓C的方程；
（3）如果AB是圓C的直徑，證明：無論a取何實數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個定點，求出這個定點坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，圓心為線段AB的中點，半徑等于

1

2

AB=

5

，由此求得所求的圓的方程．
（2）a=1時，圓過A（0，1），B（4，1），設圓的半徑為r，則由圓C與x軸相切可得圓心為（2，r），再根據(jù)r²=|CA|²求出r的值，即可求得圓C的方程．
（3）由AB是圓C的直徑，設圓心C的坐標為 （x，y），由于直徑對的圓周角等于90°，故有

CA

•

CB

 =0，由此求得動圓的方程，從而求出此圓過定點（4，1）．

解答：解：（1）由題意可得，圓心為線段AB的中點，故圓心坐標C（2，2），半徑等于

1

2

AB=

5

，故所求的圓的方程為（x-2）²+（y-2）²=5．
（2）a=1時，圓過A（0，1），B（4，1），設圓的半徑為r，則由圓C與x軸相切可得圓心為C（2，r）．
r²=4+（r-1）²，r=

5

2

，故所求的圓的方程為  (x-2)2+(y-

5

2

)2=

25

4

．
（3）∵AB是圓C的直徑，設圓心C的坐標為 （x，y），由于直徑對的圓周角等于90°，故有

CA

•

CB

 =0，即 （x，y-1）•（x-4，y-a）=0，
故動圓的方程為：x（x-4）+（y-1）（y-a）=0，則當x=4，y=1時，（x，y-1）•（x-4，y-a）=0恒成立，
故圓C經(jīng)過定點（4，1）．

點評：本題主要考查求圓的標準方程的方法，直線和圓的位置關系，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．