Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求的單調區(qū)間；

（Ⅲ）若對于任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)單調遞增區(qū)間是； 的單調遞減區(qū)間是；(Ⅲ)答案見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由f（1）=0，f′（1）=1；從而寫出切線方程即可；

（Ⅱ）根據(jù)導數(shù)，求出導數(shù)等于0的根，分析導數(shù)函數(shù)值在根的左右的正負變化即可得出的單調區(qū)間；

（Ⅲ）當時，“”等價于“”.令， ，求導研究單調性求出在區(qū)間上的最大值為，即可求出實數(shù)的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）因為函數(shù)，

所以,

.

又因為，

所以曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）函數(shù)定義域為，

由（Ⅰ）可知， .

令解得.

與在區(qū)間上的情況如下：

x
	↘	極小值	↗

所以， 的單調遞增區(qū)間是；

的單調遞減區(qū)間是.

（Ⅲ）當時，“”等價于“”.

令， ，

， .

當時， ，所以在區(qū)間單調遞減.

當時， ，所以在區(qū)間單調遞增.

而，

所以在區(qū)間上的最大值為.

所以當時，對于任意，都有.