Question

【題目】已知向量，向量，且函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其對(duì)稱(chēng)中心；

(2)在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且角A滿(mǎn)足.若，BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為3，求的面積S.

(3)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位，向下平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的后得到函數(shù)的圖像，令函數(shù)在的最小值為，求正實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間:，對(duì)稱(chēng)中心;(2);(3)

【解析】

（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義,結(jié)合誘導(dǎo)公式及正余弦二倍角公式化簡(jiǎn)即可得函數(shù)解析式.進(jìn)而求得單調(diào)區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心.

（2）將代入（1）中所得解析式,即可由求得.結(jié)合向量的加法與減法運(yùn)算和BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng),即可求得.再根據(jù)三角形面積公式即可求解.

（3）根據(jù)函數(shù)的平移變換,即可求得的解析式.代入后表示出的解析式.轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)性質(zhì),通過(guò)對(duì)分類(lèi)討論并結(jié)合最小值,即可求得的值.

（1）因?yàn)?/span>代入向量,向量,結(jié)合誘導(dǎo)公式及正余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)可得

所以

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿(mǎn)足

解得

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

令,解得

則對(duì)稱(chēng)中心

（2）,得,

則,

∴

又①,

BC上的中線(xiàn)長(zhǎng)為3,則②

由①②知:

即,所以

∴

（3）由題意將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位可得

向下平移個(gè)長(zhǎng)度單位,可得

再橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的后得到函數(shù),則

則,

所以,,

①當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有最小值,解得.

②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有最小值,

(舍去),

綜上可得.