Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線L:x=-1相切，點(diǎn)C在l上.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程；

（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由

（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

（1）y2=4x（2）不存在；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是:

解析:

（1)依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x.

假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

   

因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，

，

，

∠CAB為鈍角.

.  

該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角.

因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是:

.

解法二： 以AB為直徑的圓的方程為:

.

當(dāng)直線l上的C點(diǎn)與G重合時(shí)，∠ACB為直角，當(dāng)C與G 點(diǎn)不重合，且A，

B，C三點(diǎn)不共線時(shí)， ∠ACB為銳角，即△ABC中∠ACB不可能是鈍角.

因此，要使△ABC為鈍角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA為鈍角.

.

.

A，B，C三點(diǎn)共 線，不構(gòu)成三角形.

因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是：