Question

【題目】已知橢圓的左右焦點分別為，，點，是橢圓的左右頂點，點是橢圓上一動點，的周長為6，且直線，的斜率之積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若、為橢圓上位于軸同側(cè)的兩點，且，求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到，，再由，求出，，即可得出橢圓方程；

（2）由得，延長交橢圓于點，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理，弦長公式，以及三角形面積公式，得到四邊形的面積，令，，得到，進而可得出結(jié)果.

（1）∵的周長為6，∴，即，①

設(shè)，因為點，是橢圓的左右頂點，則，，

因為直線，的斜率之積為，

所以，即，

又，所以，所以②

聯(lián)立①②及，解得，，．

∴橢圓的方程為；

（2）∵，∴，

延長交橢圓于點，設(shè)，，

由（1）知，，直線的方程為，

聯(lián)立，得．

∴，．

由對稱性可知，，設(shè)與的距離為，

則四邊形的面積

．

∴

．

令，．

∴．

易知：在上單調(diào)遞減，∴．

故四邊形面積的取值范圍為．