Question

已知圓C的方程為：x²+y²=4
（1）求過點P（2，1）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線l過點D（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2

3

，求直線l的方程；
（3）圓C上有一動點M（x₀，y₀），

ON

=（0，y₀），若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況考慮：當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線x=2滿足題意；當(dāng)k存在時，變形出l方程，利用圓心到l的距離d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時l方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；
（2）分兩種情況考慮：當(dāng)直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，直線l與圓的兩個交點距離為2

3

，滿足題意；
當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），求出圓心到直線l的距離d=1，利用點到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時直線方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；
（3）設(shè)Q（x，y），表示出

OQ

，

OM

，代入已知等式中化簡得到x=x₀，y=2y₀，代入圓方程變形即可得到Q軌跡方程．

解答：解：（1）當(dāng)k不存在時，x=2滿足題意；
當(dāng)k存在時，設(shè)切線方程為y-1=k（x-2），
由

|2-k|

k2+1

=2得，k=-

3

4

，
則所求的切線方程為x=2或3x+4y-10=0；
（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標(biāo)為（1，

3

）和（1，-

3

），這兩點的距離為2

3

，滿足題意；
當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
設(shè)圓心到此直線的距離為d，
∴d=

22-( 2 3 2 )2

=1，即

|2-k|

k2+1

=1，
解得：k=

3

4

，
此時直線方程為3x-4y+5=0，
綜上所述，所求直線方程為3x-4y+5=0或x=1；
（3）設(shè)Q點的坐標(biāo)為（x，y），
∵M（x₀，y₀），

ON

=（0，y₀），

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（x₀，2y₀），
∴x=x₀，y=2y₀，
∵x₀²+y₀²=4，
∴x²+（

y

2

）²=4，即

x2

4

+

y2

16

=1．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及與直線有關(guān)的軌跡方程，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，以及平面向量的數(shù)量積運算，利用了分類討論的思想，分類討論時要求學(xué)生考慮問題要全面，做到不重不漏．