Question

右圖是某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一段圖象，它的函數(shù)模型是f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0），其中A＞0，ω＞0，-

π

2

＜?＜

π

2

．
（Ⅰ）根據(jù)圖象求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在[ 

π

2

 ， π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)模型f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0）知A=2，由

2π

ω

=T=4π可求得ω=

1

2

，結(jié)合最高點(diǎn)坐標(biāo)與φ的范圍可求得φ；
（Ⅱ）解法一：將y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=g（x）=2sin（x-

π

6

），由

π

2

≤x≤π，可得到

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，從而可求函數(shù)y=g（x）在[ 

π

2

 ， π]上的最大值和最小值；
解法二：同解法一，得到y(tǒng)=g（x）=2sin（x-

π

6

），令t=x-

π

6

，可求得函數(shù)y=2sint的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，還原x后得到-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，分析y=g（x）在區(qū)間[

π

2

，

2π

3

]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[

2π

3

，π]上單調(diào)遞減，從而可求最值．

解答：解：（Ⅰ）由函數(shù)模型f（x）=Asin（ωx+φ）（x≥0）知A=2；
由

2π

ω

=T=

13π

3

-

π

3

=4π，得ω=

1

2

，
由最高點(diǎn)（

4π

3

，2）得，

1

2

×

4π

3

+φ=2kπ+

π

2

，
∴φ=-

π

6

+2kπ，又-

π

2

＜?＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
∴函數(shù)y=f（x）的解析式為y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）（x≥0）；
（Ⅱ）解法一：將y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=g（x）=2sin（x-

π

6

），
∵

π

2

≤x≤π，
∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，
∴當(dāng)x-

π

6

=

π

2

，即x=

2π

3

時(shí)，g（x）有最大值2，
當(dāng)x-

π

6

=

5π

6

，即x=π時(shí)，g（x）有最小值1；
解法二：將y=f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

2

倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=g（x）=2sin（x-

π

6

），
令t=x-

π

6

，
∵函數(shù)y=2sint的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，k∈Z，
由-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得，由-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，
設(shè)A=[

π

2

，π]，B={x|-

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z，}，則A∩B=[

π

2

，

2π

3

]，
∴函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[

π

2

，

2π

3

]上單調(diào)遞增，
同理可得，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間[

2π

3

，π]上單調(diào)遞減．
又∵g（

π

2

）=

3

，g（

2π

3

）=2，g（π）=1，
∴函數(shù)y=g（x）在[

π

2

，π]上的最大值為2，最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象的平移伸縮變換，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查方程與函數(shù)、數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．