Question

（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐中,底面,四邊形中, ,, ,,E為中點.

（1）求證：CD⊥面PAC；（2）求:異面直線BE與AC所成角的余弦值；

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析  （2） 90°

【解析】

試題分析：（1）（6分）   

∵PA⊥面ABCD，CD面ABCD        ∴PA⊥CD       2分

∵,，且 AB=BC=2

∴∠ABC=90°，AC=2，∠CAD=45°

∵AD=4          ∴CD=2

∵CD²+AC²=AD²            ∴AC⊥CD                4分

∵AC∩PA=A              ∴CD⊥面PAC         6分

（2）（6分）解：

方法一：以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系

則A（0,0,0），B（2,0，0），C（2,2,0），P（0,0,2）          2分

∵E是PC中點

∴E（1,1,1）           

                  4分

∵

∴BE⊥AC        ∴BE與AC所成的角為90°    6分

方法二：作AC中點O，連結(jié)EO

∵E、O分別是PC、AC中點

∴EO//PA

∵PA⊥面ABCD        ∴EO⊥面ABCD

∴EO⊥AC

可證得ABCG是正方形     ∴AC⊥BO

∵BO∩EO=O          ∴AC⊥面BEO

∴AC⊥BE        ∴BE與AC所成的角為90°

方法三：作PD中點F，AD中點G

∵AD2BC，AG=GD   

∴四邊形ABCG是正方形，且BG//CD   ∴BO

∵EF是△PCD的中位線    ∴EF

∴EFBO        ∴BEFO

∴BE與AC所成的角等于OF與AC所成的角

PB=2，BC=2，PC=         ∴PB⊥BC

∵E是PC中點        ∴BE=

PD=     ∴AF=

∵AO=，OF=BE=，AF=   ∴∠AOF=90°  即BE與AC所成的角為90°

考點：考查線面垂直的判定和異面直線所成角的求解

點評：立體幾何的求解有兩大思路。其一：幾何法，依據(jù)線面的位置關(guān)系，長度關(guān)系推理計算：其二，代數(shù)法，利用空間坐標系，點的坐標轉(zhuǎn)化為向量運算