Question

設函數(shù)f(x)=cos(

3

x+φ）（0＜φ＜π），且f（x）+f′（x）為奇函數(shù)．
（1）求φ的值；
（2）求f（x）+f′（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）由已知利用輔助角公式可得，
f（x）+f'（x）=cos(

3

x+φ)-

3

sin(

3

x+φ)=2sin(

3

x+φ+

5π

6

)，
由f（x）+f'（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質可得，f（0）+f'（0）=0，從而可求φ的值
（2）由（1）得f（x）+f'（x）=2sin(

3

x+π)=-2sin

3

x．
，根據(jù)正弦函數(shù)的性質可求最值

解答：解：（1）f（x）+f'（x）=cos(

3

x+φ)-

3

sin(

3

x+φ)=2sin(

3

x+φ+

5π

6

)，
又f（x）+f'（x）是奇函數(shù)，
∴f（0）+f'（0）=0，又0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

．
（2）由（1）得f（x）+f'（x）=2sin(

3

x+π)=-2sin

3

x．
∴f（x）+f'（x）的最大值為2，最小值為-2．

點評：本題主要考查了奇函數(shù)的性質：若函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，且0在定義域內(nèi)，則g（0）=0，利用該性質可以簡化運算；三角函數(shù)的輔助角公式 的應用，正弦函數(shù)的最值的求解．