Question

矩形ABCD中，AB=2，AD=，H是AB中點(diǎn)，以H為直角頂點(diǎn)作矩形的內(nèi)接直角三角形HEF，其中E，F(xiàn)分別落在線段BC和線段AD上，如圖．記∠BHE為θ，記Rt△EHF的周長(zhǎng)為l．
（1）試將l表示為θ的函數(shù)；
（2）求l的最小值及此時(shí)的θ．

Answer 1

解：（1）∵△EHF是直角三角形，∠BHE=θ，
∴∠AFH=θ，∵AB=2，H是AB中點(diǎn)，
∴AH=FHsinθ=1，F(xiàn)H=，同理EH=，
∴l(xiāng)=FH+EH+EF=++=，
當(dāng)F與D重合時(shí)，θ取到最小值，當(dāng)E與C重合時(shí)，θ取到最大值，
∴θ∈[，]，∴l(xiāng)=（θ∈[，]）；
（2）令sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ=，∴l(xiāng)==，
∵θ∈[，]，∴θ+∈[，]，t=sin（θ+）∈[，]，
∴當(dāng)t=時(shí)，即θ=時(shí)，l取到最小值=2（+1）．t²
分析：（1）利用EHF是直角三角形，求得∠AFH，進(jìn)而利用H是AB中點(diǎn)分別求得FH，EH，進(jìn)而求得=1，進(jìn)而推斷出當(dāng)F與D重合時(shí)，θ取到最小值，當(dāng)E與C重合時(shí)，θ取到最大值，進(jìn)而求得l的函數(shù)解析式及定義域．
（2）sinθ+cosθ=t，代入l的解析式中，利用θ的范圍判斷出t的范圍，進(jìn)而求得l的最小值和此時(shí)θ的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．涉及了通過(guò)三角函數(shù)的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的問(wèn)題．