Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D-ABCE．
（1）求證：BE⊥平面ADE；
（2）求BD和平面CDE所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證明BE⊥平面ADE．
（2）在平面CDE內(nèi)，過(guò)C作CE的垂線，與過(guò)D作CE的平行線交于F，由BC⊥EC，CF∩BC=C，可得EC⊥平面BCF．再過(guò)B作BG⊥CF于G，可得EC⊥BG．連接DG，可得BG⊥平面CDE；故∠BDG為BD和平面CDE所成的角．利用直角三角形的邊角關(guān)系求出BG，BD即可．

解答：證明：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點(diǎn)，∴∠AED=45°，
同理∠CEB=45°，于是∠AEB=90°，∴BE⊥AE．
∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE．
（2）在平面CDE內(nèi)，過(guò)C作CE的垂線，與過(guò)D作CE的平行線交于F，
∵BC⊥EC，CF∩BC=C，∴EC⊥平面BCF．
再過(guò)B作BG⊥CF于G，可得EC⊥BG．
連接DG，可得BG⊥平面CDE； 
∴∠BDG為BD和平面CDE所成的角．
過(guò)D作DH⊥AE交AE于點(diǎn)H，連接CH，BH．
在△DHC中，△DHB中，可得DC=BD=

3

，又DE=EC=1，因此∠DCE=∠CDF=30°，
∵CF⊥DF，∴CF=

3

2

．
由題意得BC=1，F(xiàn)B=

3

2

，∴BG=

6

3

，
因此sin∠BDG=

BG

BD

=

2

3

，
∴BD和平面CDE所成的角的正弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面角的定義、直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．