Question

（20）已知a＞0，函數(shù)f（x）＝，x∈（0，＋∞）.設(shè)0＜x₁＜，設(shè)曲線(xiàn)y＝f（x）在

點(diǎn)M（x₁，f（x₁））處的切線(xiàn)為l.

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）設(shè)l與x軸交點(diǎn)為（x₂，0）.證明：

 

（i）0＜x₂≤;

 

（ii）若x₁＜，則x₁＜x₂＜.

Answer 1

（20）本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)切線(xiàn)的方法，考查不等式的基本性質(zhì)，以及分析和解決問(wèn)題的能力.

（Ⅰ）解：求f（x）的導(dǎo)數(shù)：f′（x）＝－，由此得切線(xiàn)l的方程：

y－（）＝－（x－x₁）.           

 

（Ⅱ）證：依題意，切線(xiàn)方程中令y＝0，

x₂＝x₁（1－ax₁）＋x₁＝x₁（2－ax₁），其中0＜x₁＜，       

 

（i）由0＜x₁＜，x₂＝x₁（2－ax₁），有x₂＞0，及x₂＝－a（x₁－）²＋.

 

∴0＜x₂≤，當(dāng)且僅當(dāng)x₁＝時(shí)，x₂＝.                 

 

（ii）當(dāng)x₁＜時(shí)，ax₁＜1，因此，x₂＝x₁（2－ax₁）＞x₁，且由（i），x₂＜，

 

所以x₁＜x₂＜.