Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，O，E分別為AD，PB的中點，平面平面ABCD，，.

（1）求證：平面PCD；

（2）求證：平面PCD；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

(1) 取PC的中點G，連接EG，DG.再證明即可.

(2)分別證明與即可.

(3)以O為原點,建立空間直角坐標系,利用二面角的向量方法求解即可.

（1）證明：取PC的中點G，連接EG，DG.

∵E，G分別為PB，PC的中點，

∴，

∵四邊形ABCD為矩形，且O為AD的中點，

∴，

∴，

∴四邊形ODGE為平行四邊形，

∴.

又因為平面PCD，平面PCD，

∴平面PCD，.

（2）∵底面ABCD為矩形，

∴，又平面平面ABCD，

∴平面PAD，∴，

∵，，

∴，

∴，又

∴平面PCD.

（3）解：取BC的中點F，連接OF，OP，則，，.

以O為原點，OA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，

平面PAD的一個法向量，，，

設平面PBD的法向量，

則，所以，可取，

所以，

結合圖形可知二面角的余弦值為.