Question

已知圓C的圓心坐標(biāo)為C（2，-1），且被直線(xiàn)x-y-1=0所截得弦長(zhǎng)是2

2

，
（1）求圓的方程；
（2）已知A為直線(xiàn)l：x-y+1=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與圓相切于點(diǎn)B，求切線(xiàn)段|AB|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心C到已知x-y-1=0的距離d，由弦長(zhǎng)的一半及弦心距，利用垂徑定理及勾股定理求出圓的半徑，由圓心與半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心C到直線(xiàn)x-y+1=0的距離，此距離為圓心到直線(xiàn)的最短距離，此時(shí)垂足為A的位置，由圓的半徑，利用勾股定理求出此時(shí)切相等的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）∵圓心C（2，-1）到直線(xiàn)x-y-1=0的距離d=

2+1-1

2

=

2

，截取的弦長(zhǎng)為2

2

，
∴圓的半徑r=

( 2 )2+( 2 2 2 )2

=2，
則圓C的方程為（x-2）²+（y+1）²=4；
（2）∵圓心C（2，-1）到直線(xiàn)x-y+1=0的距離為

2+1+1

2

=2

2

，半徑為2，
∴切線(xiàn)段|AB|的最小值為

(2 2 )2-22

=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：勾股定理，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，以及垂線(xiàn)段最短，當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑以及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．