Question

（2011•重慶二模）已知函數(shù)f（x）=sinωx（cosωx-sinωx）+

1

2

的最小正周期為2π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（A）=

2

2

，b=1且△ABC的面積為1，求c．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)得f（x）=

2

2

sin（2ωx+

π

4

），利用三角函數(shù)的周期公式即可解出ω的值為±

1

2

；
（II）分ω=

1

2

、ω=-

1

2

時(shí)兩種情況加以討論，分別解關(guān)于A的方程f（A）=

2

2

可得A=

π

4

，結(jié)合三角形的面積為1利用正弦定理的面積公式即可算出邊c的長(zhǎng)．

解答：解：（I）f（x）=sinωx（cosωx-sinωx）+

1

2

=

1

2

sin2ωx+

1

2

（1-2sin²ωx）=

1

2

sin2ωx+

1

2

cosωx=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）
∵函數(shù)的最小正周期為2π
∴T=

2π

2ω

=2π，解之得ω=±

1

2

（II）當(dāng)ω=

1

2

時(shí)，f（A）=

2

2

即

2

2

sin（A+

π

4

）=

2

2

∴sin（A+

π

4

）=1，結(jié)合A∈（0，π）解之得A=

π

4

∵△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=1，∴

1

2

×1×c×

2

2

=1，解之得c=2
當(dāng)ω=-

1

2

時(shí)，f（A）=

2

2

即

2

2

sin（-A+

π

4

）=

2

2

，
即sin（-A+

π

4

）=1，找不到符合題意的角A
綜上所述，得A=

π

4

，邊c的長(zhǎng)為2

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求參數(shù)ω值并依此解三角形ABC的邊c之長(zhǎng)．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形面積公式和正余弦定理等知識(shí)，屬于中檔題．