Question

【題目】

如圖，在四面體中，點分別是棱的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：四邊形為矩形；

（Ⅲ）是否存在點，到四面體六條棱的中點 的距離相等？說明理由．

Answer 1

【答案】略

【解析】

：證明：（Ⅰ）因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DE//PC．又因為DE平面BCP，所以DE//平面BCP．

（Ⅱ）因為D，E，F，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF．所以四邊形DEFG為平行四邊形，

又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四邊形DEFG為矩形．

（Ⅲ）存在點Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.

分別取PC，AB的中點M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN．

與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線點為EG的中點Q，

且QM=QN=EG，所以Q為滿足條件的點.