Question

已知以點(diǎn)C為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和B（3，4），且圓心C在直線x+3y-15=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q（-1，m）（m＞0）在圓C上，求△QAB的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y-15的交點(diǎn)，解之可得C（-3，6），由距離公式可得半徑，進(jìn)而可得所求圓C的方程；
（Ⅱ）代點(diǎn)的坐標(biāo)可得m的值，進(jìn)而可得|AQ|，可得直線AQ的方程，可得點(diǎn)B到直線AQ的距離，代入三角形的面積公式可得．

解答：解：（Ⅰ）依題意所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y-15=0的交點(diǎn)，…（1分）
∵AB的中點(diǎn)為（1，2），斜率為

4-0

3-(-1)

=1，
∴AB的垂直平分線的方程為y-2=-（x-1），即y=-x+3…（2分）
聯(lián)立 

y=-x+3 x+3y-15=0

，解得

x=-3 y=6

，即圓心C（-3，6）
∴半徑r=

(-1+3)2+(0-6)2

=2

10

                  …（5分）
所求圓C的方程為（x+3）²+（y-6）²=40…（6分）
（Ⅱ）點(diǎn)Q（-1，m）（m＞0）在圓C上，則（-1+3）²+（m-6）²=40
整理可得（m-6）²=36，解得m=12或 m=0（舍去）…7分
故可得|AQ|=

(-1+1)2+(0-12)2

=12…（8分）
直線AQ的方程為x=-1，故點(diǎn)B到直線AQ的距離為|3-（-1）|=4…（9分）
所以△QAB的面積為S=

1

2

×12×4=24             …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的性質(zhì)，涉及直線方程的求解和點(diǎn)到直線的距離公式，屬中檔題．