Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA₁=AB=2，四棱錐B-AA₁C₁D的體積為3．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證AB₁∥平面BC₁D，只需證明AB₁平行平面BC₁D中的一條直線，利用三角形的中位線平行與第三邊，構(gòu)造一個(gè)三角形AB1C，使AB₁成為這個(gè)三角形中的邊，而中位線OD恰好在平面BC₁D上，就可得到結(jié)論．
（2）先根據(jù)AA₁=AB=2，四棱錐B-AA₁C₁D的體積為3，求出BC長，利用三垂線定理，取BC中點(diǎn)M，連接DM，DM⊥平面BCC₁，作MN⊥NC₁與N，連接DN，則DN⊥BC₁，則∠DNM為二面角C-BC₁-D的平面角．再把角∠DNM放到三角形DMN中求出正切值即可．

解答：解：（1）證明：連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁相交于點(diǎn)O，連接OD，
∵四邊形BCC₁B是平行四邊形，∴點(diǎn)O為B₁C的中點(diǎn)，
∵D為AC的中點(diǎn)，∴OD為△AB₁C的中位線，∴OD∥AB₁，
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，∴AB₁∥平面BC₁D
（2）依題意知，AB=BB₁=2，∵AA₁⊥底面ABC，AA₁?底面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC
作BE⊥AC，垂足為E，則BE⊥平面AA₁C₁C．
設(shè)BC=a，在Rt△ABC中，BE=

AB•BC

AC

=

2a

4+a2

∴四棱錐B-AA₁C₁D的體積V=

1

3

×

1

2

（A₁C₁+AD）•AA₁•BE=a=3，即BC=3
取BC中點(diǎn)M，連接DM，DM⊥平面BCC₁，作MN⊥NC₁與N，連接DN，則DN⊥BC₁，
∠DNM為二面角C-BC₁-D的平面角．
在△DMN中，DM=1，MN=

3

13

，tan∠DNM=

13

3

，
∴二面角C-BC₁-D的正切值為

13

3

點(diǎn)評：本題考察了線面平行判定定理的應(yīng)用和二面角的作法和求法，解決二面角問題是要按照一作二證三計(jì)算的步驟，準(zhǔn)確規(guī)范解題