Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）的周期為π，，且f（x）的最大值為2．
（1）寫出f（x）的表達(dá)式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸方程；
（3）說(shuō)明f（x）的圖象如何由函數(shù)y=2sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把函數(shù)化為y=Asin（ωx+∅）的形式，則周期T=，最大值為，再與所給函數(shù)的周期，最大值比較，就可得到兩個(gè)含a，b，ω的等式，根據(jù)再得到一個(gè)含a，b，ω的等式，就可求出a，b，ω的值，得到f（x）的表達(dá)式．
（2）由（1）中得到的函數(shù)f（x）的解析式，先化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+∅），把ωx+∅看成一個(gè)整體，就可借助基本正弦函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱軸，對(duì)稱中心，求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸方程．
（2）利用函數(shù)的平移，伸縮變換，把函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，再將圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，即得的圖象．
解答：解：（1）f（x）=asinωx+bcosωx=sin（ωx+∅），其中φ為輔助角，且tanφ=，
∴T==π，∴ω=2
∵，∴asin+bcos=，即a=
∵f（x）的最大值為2，∴=2，解得，b=1
∴
（2）由（1）得，=2sin（2x+）
令，k∈Z，解得，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
令2x+=kπ，k∈Z，解得，x=
∴函數(shù)的對(duì)稱中心為；
令2x+=kπ+，k∈Z，解得，
對(duì)稱軸方程為
（3）的圖象可先由函數(shù)y=2sinx的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，再將圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，即得的圖象．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查y=Asin（ωx+∅）形式的函數(shù)的單調(diào)性，周期，對(duì)稱性的判斷，以及圖象如何由基本正弦函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)平移，伸縮變換得到．屬于常規(guī)題．