Question

如圖，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，．點(diǎn)M，N分別在邊AB和AC上（M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合），將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鰽'MN，使頂點(diǎn)A'落在邊BC上（A'點(diǎn)和B點(diǎn)不重合）．設(shè)∠AMN=θ．
（1）用θ表示線(xiàn)段AM的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出θ的取值范圍；
（2）在△AMN中，若，求線(xiàn)段A'N長(zhǎng)度的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)MA=MA'=x，則MB=1-x．
在Rt△MBA'中，，
∴．
∵點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上，M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，A'點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，
∴45°＜θ＜90°．
（2）∵，
∴∠MAN=60°，在△AMN中∠ANM=120°-θ，，
=．
令
=
=．
∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°．
當(dāng)且僅當(dāng)2θ-30°=90°，θ=60°時(shí)，t有最大值，
∴θ=60°時(shí)，A'N有最小值．
分析：（1）設(shè)MA=MA'=x，則MB=1-x，在Rt△MBA'中，利用三角函數(shù)可求；（2）求線(xiàn)段A'N長(zhǎng)度的最小值，即求線(xiàn)段AN長(zhǎng)度的最小值，再利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，從而求最值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型，從而利用三角函數(shù)中研究最值的方法解決最值問(wèn)題，應(yīng)注意角的范圍的確定是關(guān)鍵．