Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3），其中a為常數(shù)．
（1）若x=l是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x），由題意f′（1）=0，解得a=2，再代入f′（x），驗證在x=1處兩側的導數(shù)符號異號；
（2）由題意求出函數(shù)g（x）的導函數(shù)g′（x），再求g′（x）=0的兩個根為x₁，x₂，再分類討論與區(qū)間[0，2]的大小關系，求出g（x）的最大只能所有情況g（0）或g（2），根據(jù)條件列出g（0）≥g（2），代入解析式求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

x

2

(ax-3)=ax³-3x²，∴f′（x）=3ax²-6x，
∵x=l是函數(shù)f（x）的一個極值點，∴f′（1）=0，
解得，a=2，此時f′（x）=6（x²-x）=6x（x-1），
∴當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（-∞，0），（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴a=2．
（2）由題意得g（x）=f（x）+f′（x）=ax³+3（a-1）x²-6x，a＞0且x∈[0，2]，
∴g′（x）=3ax²+6（a-1）x-6=3[ax²+2（a-1）x-2]，
令g′（x）=0，即ax²+2（a-1）x-2=0，
且△=4（a-1）²+8a=4a²+4＞0，
∴方程ax²+2（a-1）x-2=0有兩個不同的根，設為x₁，x₂，則
x₁x₂=-

2

a

＜0，不妨設x₁＜0＜x₂，
當0＜x₂＜2時，g（x₂）為極小值，則g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）；
當x₂≥2時，則g（x）在[0，2]上是單調減函數(shù)，
∴g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0），
綜上得，g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）；
∵g（x）在x=0處取得最大值，∴g（0）≥g（2），
即0≥20a-24，得a≤

6

5

，
∵a＞0，∴a∈（0，

6

5

]．

點評：本題主要考查了導數(shù)與函數(shù)的單調性，極值的關系，以及再給定區(qū)間上的最值問題，考查了分類討論思想．