Question

【題目】已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）關(guān)于直線3x﹣2y=0對稱，且與直線3x﹣4y+1=0相切．

（1）求圓C的方程；

（2）若直線l：y=kx+2與圓C交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣3）2=1（2）不存在直線l

【解析】

（1）根據(jù)題意，分析可得，解可得a、b的值，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；

（2）假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)M（x1，y1）N（x2，y2），聯(lián)立直線與圓的方程，由直線與圓相交可得△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得=（1+k2）++4=6，解可得k的值，驗(yàn)證是否滿足△＞0，即可得答案．

（1）根據(jù)題意，圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a＞0）關(guān)于直線3x﹣2y=0對稱，

即圓心（a，b）在直線3x﹣2y=0上，

圓C與直線3x﹣4y+1=0相切，則C到直線l的距離d=r=1，

則有，

解得或（舍）

∴圓C的方程為（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．

（2）假設(shè)存在直線l，使得=6，設(shè)M（x1，y1）N（x2，y2），

由得（1+k2）x2﹣（2k+4）x+4=0，

由△=（2k+4）2﹣16（1+k2）＞0得，且，

=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=（1+k2）++4=6，

解得k=﹣1或，不滿足△＞0，

所以不存在直線l，使得=6．