Question

已知A、B、C是△ABC的內角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1．
（1）求角A；
（2）若a=

3

，S△ABC=

3

2

，求b和c的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算法則，化簡

m

•

n

=1，然后利用兩角正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出這個角的度數(shù)，進而得到A的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）求出的A的度數(shù)，計算得到cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，化簡得到一個關系式，記作①，然后再根據(jù)三角形的面積公式，由sinA的值求出bc的值，把bc和a的值代入①即可列出b與c的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到b與c的值．

解答：解：（1）由

m

•

n

=1，得到-cosA+

3

sinA=1，
即

3

sinA-cosA=1，化簡得sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）由cosA=

1

2

，可知

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，即（b+c）²-a²=3bc①，
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，得bc=2，又a=

3

，
代入①得：b+c=3，
聯(lián)立得

bc=2 b+c=3

，解得：

b=1 c=2

或

b=2 c=1

．

點評：此題考查了三角函數(shù)的恒等變換，余弦定理及三角形的面積公式．要求學生掌握兩角和與差得正弦函數(shù)公式，牢記特殊角的三角函數(shù)值．