Question

定義：已知函數(shù)f(x)在[m，n](m<n)上的最小值為t，若t≤m恒成立，則稱函數(shù)f(x)在[m，n](m<n)上具有“DK”性質(zhì).

(1)判斷函數(shù)f(x)＝x²－2x＋2在[1,2]上是否具有“DK”性質(zhì)，說明理由.

(2)若f(x)＝x²－ax＋2在[a，a＋1]上具有“DK”性質(zhì)，求a的取值范圍.

Answer 1

(1)∵f(x)＝x²－2x＋2，x∈[1,2]，

∴f(x)_min＝1≤1，

∴函數(shù)f(x)在[1,2]上具有“DK”性質(zhì).

(2)f(x)＝x²－ax＋2，x∈[a，a＋1]，其對(duì)稱軸為x＝.

①當(dāng)≤a，即a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)_min＝f(a)＝a²－a²＋2＝2.

若函數(shù)f(x)具有“DK”性質(zhì)，則有2≤a總成立，即a≥2.

②當(dāng)a<<a＋1，

即－2<a<0時(shí)，f(x)_min＝f()＝－＋2.

若函數(shù)f(x)具有“DK”性質(zhì)，則有－＋2≤a總成立，解得a∈.

③當(dāng)≥a＋1，即a≤－2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為f(a＋1)＝a＋3.

若函數(shù)f(x)具有“DK”性質(zhì)，則有a＋3≤a，解得a∈.

綜上所述，若f(x)在[a，a＋1]上具有“DK”性質(zhì)，則a的取值范圍為[2，＋∞).