Question

已知圓系C：(x-t)2+(y-t2)2=t2+(t2-

1

2

)2(t∈R)，圓C過(guò)y軸上的定點(diǎn)A，線段MN是圓C在x軸上截得的弦，設(shè)|AM|=m，|AN|=n．對(duì)于下列命題：
①不論t取何實(shí)數(shù)，圓心C始終落在曲線y²=x上；
②不論t取何實(shí)數(shù)，弦MN的長(zhǎng)為定值1；
③不論t取何實(shí)數(shù)，圓系C的所有圓都與直線y=

1

2

相切；
④式子

m

n

+

n

m

的取值范圍是[2，2

2

]．
其中真命題的序號(hào)是

 

（把所有真命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：分析圓的方程特點(diǎn)，圓心C（t，t²）在直線 y=x²上；由弦長(zhǎng)公式求弦MN的長(zhǎng)；由圓心到直線的距離和半徑
作比較，判斷直線和圓的位置關(guān)系；先求出m和n的值，有基本不等式可證

m

n

+

n

m

≥2，由余弦定理求出
cosA，由三角形的面積可求 sinA，再運(yùn)sinA+cosA≤

2

，可得  

m

n

+

n

m

≤2

2

，從而得出結(jié)論．

解答：解：由圓C的方程知，圓心C（t，t²）在曲線y=x²上，故①不正確．
由弦長(zhǎng)公式得：弦MN的長(zhǎng)為 2

r2-d2

=2

[t2+(t2- 1 2 )2-t4

=2

1 4

=1，故②正確．
圓心C（t，t²）到直線y=

1

2

 的距離等于|t²-

1

2

|，而半徑為

t2+(t2- 1 2 ) 2

，二者不一定相等，
故③不正確．
在圓C方程令y=0，可得 x²-2t²x+t⁴-

1

4

=0，∴x=t²+

1

2

  或 x=t²-

1

2

，
即 M（t²+

1

2

，0），N（t²-

1

2

，0），由圓C方程知A（0，

1

2

），
∴|AM|=m=

(t2+ 1 2 ) 2+ 1 4

，|AN|=n=

(t2- 1 2 ) 2+

1

4

，
由基本不等式得

m

n

+

n

m

≥2（當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立），
△AMN中，由余弦定理得 1=m²+n²-2mncosA，∴cosA=

m2+n2-1

2mn

，
△AMN的面積為

1

2

•m•n•sinA=

1

2

×1×

1

2

，∴sinA=

1

2mn

，
∵sinA+cosA=

m2+n2

2mn

≤

2

，∴

m

n

+

n

m

=

m2+n2

mn

≤2

2

，
 即 2

2

≥

m

n

+

n

m

≥2，故④正確．
故答案為 ②④．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查圓系方程的性質(zhì)，重點(diǎn)考查圓心的坐標(biāo)特征，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式、直線和圓的
位置關(guān)系以及余弦定理的應(yīng)用，并運(yùn)用sinA+cosA≤

2

 這個(gè)結(jié)論，屬于中檔題．