如圖,
是橢圓
的左、右頂點,橢圓
的離心率為
,右準線
的方程為
.
（1）求橢圓方程；
（2）設
是橢圓上異于的一點,直線
交于點
,以
為直徑的圓記為
. ①若恰好是橢圓的上頂點,求
截直線
所得的弦長；
②設與直線
交于點
,試證明:直線
與
軸的交點
為定點,并求該定點的坐標.
（1） 
（2） ①
②
解析試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數(shù)法.關鍵是找全所需條件. 橢圓中
三個未知數(shù)的確定只需兩個獨立條件，由
可得
值，（2） ①求圓被直線所截得弦長時，利用半徑、半弦長、圓心到直線距離三者成勾股列等量關系，先分別確定直線的方程
與圓K的方程
，②證明直線與軸的交點為定點,實質為求直線與軸的交點.由①知，點是關鍵點，不妨設點的坐標作為參數(shù)，先表示直線的方程，與圓的方程聯(lián)立解出點P的坐標.由
得直線
的斜率，從而得直線的方程，再令
,得點R的橫坐標為
，利用點M滿足
化簡得
試題解析：（1）由
，解得
，故
（2）①因為
,所以直線
的方程為
，
從而的方程為 6分
又直線的方程為,故圓心到直線的距離為
8分
從而截直線所得的弦長為
9分
②證:設
,則直線的方程為
,則點P的坐標為
,
又直線的斜率為
,而,
所以
,從而直線的方程為
12分
令,得點R的橫坐標為 13分
又點M在橢圓上,所以,即
,故,
所以直線與軸的交點為定點,且該定點的坐標為 15分
考點：橢圓方程，直線與圓錐曲線位置關系，圓的弦長
高中必刷題系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C：
＝1(a>b>0)上兩點，已知m＝
，n＝
，若m·n＝0且橢圓的離心率e＝
，短軸長為2，O為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，其左、右焦點分別是F1、F2，過點F1的直線l交橢圓C于E、G兩點，且△EGF2的周長為4
.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若過點M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓上一點，且滿足
＋
＝t
(O為坐標原點)，當|
－
|＜
時，求實數(shù)t的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
，點
，過
的直線
交拋物線
于
兩點.
（1）若
，拋物線的焦點與
中點的連線垂直于
軸，求直線的方程；
（2）設
為小于零的常數(shù)，點
關于軸的對稱點為
，求證：直線
過定點
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的頂點在坐標原點
，對稱軸為
軸，焦點為
,拋物線上一點
的橫坐標為2，且
.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點
作直線
交拋物線于
，兩點,求證:
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
拋物線
在點
，
處的切線垂直相交于點
，直線
與橢圓
相交于
，
兩點．
（1）求拋物線
的焦點
與橢圓
的左焦點
的距離；
（2）設點到直線的距離為
，試問：是否存在直線，使得
，，
成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知橢圓Ｃ：
的左、右焦點和短軸的一個端點構成邊長為４的正三角形．
（1）求橢圓Ｃ的方程；
（2）過右焦點
的直線
與橢圓Ｃ相交于Ａ、Ｂ兩點，若
，求直線的方程．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，已知拋物線
，設點
，
，
為拋物線
上的動點（異于頂點），連結
并延長交拋物線于點
，連結
、
并分別延長交拋物線于點
、
，連結
，設
、的斜率存在且分別為
、
.
（1）若
，
，
，求
；
（2）是否存在與無關的常數(shù)
，是的
恒成立，若存在，請將用
、
表示出來；若不存在請說明理由.
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