Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）若點D是AB的中點，求二面角D-CB₁-B的余弦值；
（2）設

AD

=λ

AB

，異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為

9

25

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）以CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標，利用向量法能求出二面角D-B₁C-B的余弦值．
（2）由

AD

=λ

AB

，異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為

9

25

，利用向量法能求出λ的值．

解答：解：（1）以CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標，
因為AC=3，BC=4，AA₁=4
所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），
因為 D是AB的中點，所以D(

3

2

，2，0)，
所以

CD

=(

3

2

，2，0)，

CB1

=(0，4，4)，
平面CBB₁C₁的法向量 n₁=（1，0，0），…（1分）
設平面DB₁C的一個法向量n₂=（x₀，y₀，z₀），
則n₁，n₂的夾角（或其補角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小，
由

n2• CD =0 n2• CB1 =0

得

3 2 x0+2y0=0 4y0+4z0=0

令x₀=4，則y₀=-3，z₀=3，
所以n₂=（4，-3，3）…（3分）
cos＜n1，n2＞=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

4

34

=

2 34

17

…（4分）
所以二面角D-B₁C-B的余弦值為

2 34

17

．…（5分）
（2）由（1）得

AC1

=（-3，0，4），
因為

AD

=λ

AB

，
所以點D（-3λ+3，4λ，0），所以

CD

=(-3λ+3，4λ，0)，…（7分）
因為異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為

9

25

，
所以|cos＜

AC1

，

CD

＞|=

|9λ-9|

5 (3-3λ)2+16λ2

=

9

25

，
解得λ=

1

2

．…（10分）

點評：本題考查二面角的求法及其應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．