Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為 ， 在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，且

（1）若過三點(diǎn)的圓 恰好與直線相切，求橢圓C的方程；

（2）在（1）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在滿足題意的點(diǎn)且的取值范圍是。

【解析】

試題分析：（1）由題意，得，所以 

又  由于，所以為的中點(diǎn)，

所以

所以的外接圓圓心為，半徑  3分

又過三點(diǎn)的圓與直線相切，

所以解得，

所求橢圓方程為   6分

（2）有（1）知,設(shè)的方程為：

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立

,整理得

設(shè)交點(diǎn)為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051813151475322169/SYS201305181315553470387237_DA.files/image027.png">

則  8分

若存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，

由于菱形對(duì)角線垂直，所以

又 

又的方向向量是，故，則

，即

由已知條件知  11分

，故存在滿足題意的點(diǎn)且的取值范圍 是  13分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，存在性問題研究，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

點(diǎn)評(píng)：難題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。對(duì)于存在性問題，往往先假設(shè)存在，利用已知條件加以探究，以明確計(jì)算的合理性。本題（III）通過確定m的表達(dá)式，利用函數(shù)思想，通過求函數(shù)的最值，確定得到其范圍。