Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，滿足sn=

1-an

2

（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=-

1

(n+1)log3an

求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵sn=

1-an

2

，
∴Sn-1=

1-an-1

2

，n≥2，
兩式相減得an=

1-an

2

-

1-an-1

2

=

an-1-an

2

，
即2a_n=a_n-1-a_n，3a_n=a_n-1，
∴

an

an-1

=

1

3

，n≥2，
即數(shù)列{a_n}是公比q=

1

3

的等比數(shù)列，
∵sn=

1-an

2

，
∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1-a1

2

，
解得a1=

1

3

，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=

1

3

?(

1

3

)n-1=(

1

3

)n；
（2）∵an=

1

3

?(

1

3

)n-1=(

1

3

)n，
∴bn=-

1

(n+1)log3an

=-

1

(n+1)log?3( 1 3 )n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+???+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的判斷，要求熟練掌握裂項(xiàng)法求和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．