Question

【題目】 設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求、；

（2）證明.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)求導(dǎo)法則求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是在該點(diǎn)的切線的斜率，結(jié)合切線方程以及該點(diǎn)的函數(shù)值，將函數(shù)值和切線斜率代入原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)可求得參數(shù)值；（2）由（1 )可得的解析式，為多項(xiàng)式，對(duì)要證的不等式進(jìn)行變形，使之成為兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系式，再分別利用導(dǎo)函數(shù)求出兩函數(shù)在定義域內(nèi)的最值，可證得兩函數(shù)的大小關(guān)系，進(jìn)而證得.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

.

由題意可得，.故，.

（2）證明：由（1）知，，

從而等價(jià)于.

設(shè)函數(shù)，則.

所以當(dāng)，；

當(dāng)時(shí)，.

故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.

設(shè)函數(shù)，則.

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為.

綜上，當(dāng)時(shí)，，即.