Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）設(shè)過兩點的直線的斜率為，其中、為曲線上的任意兩點，并且，若恒成立，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為,再根據(jù)點斜式求切線方程（2）因為導(dǎo)函數(shù)為,所以根據(jù)， 討論: ，在上遞增； 遞增； 遞減．（3）由（2）知的單調(diào)性，又，所以由恒成立得,利用斜率公式化簡得,轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)證明，易證.

試題解析：解：（1）當(dāng)時， ，

對函數(shù)求導(dǎo)得，

，又，

曲線在處的切線方程為： ；

（2）求導(dǎo)得．

若， ， 在上遞增；

若，當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減．

（3）由（2）知，若， 在上遞增，

又，故不恒成立．

若，當(dāng)時， 遞減， ，不合題意．

若，當(dāng)時， 遞增， ，不合題意．

若， 在上遞增，在上遞減，

，合題意．

故，且（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）．

設(shè)，

，

因此， .