Question

如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的點，若

AE

=m

AB

，

AF

=n

AC

，m，n∈（0，1）．設EF的中點為M，BC的中點為N．
（1）若A，M，N三點共線，求證m=n；
（2）若m+n=1，求|

MN

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的充要條件得到

AM

=λ

AN

(λ∈R)，據三角形的中線對應的向量等于相鄰兩邊對應向量和的一半，將已知條件代入得到要證的結論．
（2）利用向量的運算法則：三角形法則將

MN

用三角形的邊對應的向量表示，利用向量模的平方等于向量的平方，將|

MN

|2表示成m的二次函數，求出二次函數的最值．

解答：解：（1）由A，M，N三點共線，得

AM

∥

AN

，
設

AM

=λ

AN

(λ∈R)，
即

1

2

(

AE

+

AF

)=

1

2

λ(

AB

+

AC

)，
所以m

AB

+n

AC

=λ(

AB

+

AC

)，
所以m=n．
（2）因為

MN

=

AN

-

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

)-

1

2

(

AE

+

AF

)=

1

2

(1-m)

AB

+

1

2

(1-n)

AC

，
又m+n=1，
所以

MN

=

1

2

(1-m)

AB

+

1

2

m

AC

，
所以|

MN

|2=

1

4

(1-m)2

AB

2+

1

4

m2

AC

2+

1

2

(1-m)m

AB

•

AC

=

1

4

(1-m)2+

1

4

m2+

1

4

(1-m)m=

1

4

(m-

1

2

)2+

3

16

故當m=

1

2

時，|

MN

|min=

3

4

．

點評：本題考查向量共線的充要條件；三角形的中線對應向量等于相鄰兩邊對應向量和的一半；考查向量的運算法則：三角形法則；向量模的平方等于向量的平方；二次函數最值的求法．