Question

某商場搞促銷，當(dāng)顧客購買商品的金額達(dá)到一定數(shù)量之后可以抽獎(jiǎng)，根據(jù)顧客購買商品的金額，從箱中（裝有4只紅球，3只白球，且除顏色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元的商品，每抽到一只白球獎(jiǎng)勵(lì)10元的商品（當(dāng)顧客通過抽獎(jiǎng)的方法確定了獲獎(jiǎng)商品后，即將小球全部放回箱中）．
（1）當(dāng)顧客購買金額超過500元而少于1000元（含1000元）時(shí)，可從箱中一次隨機(jī)抽取3個(gè)小球，求其中至少有一個(gè)紅球的概率；
（2）當(dāng)顧客購買金額超過1000元時(shí)，可一次隨機(jī)抽取4個(gè)小球，設(shè)他所獲獎(jiǎng)商品的金額為ξ元，求ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）基本事件總數(shù)n=C₇³=35，設(shè)事件A={任取3球，至少有一個(gè)紅球}，則事件

.

A

={任取3球，全是白球}．
∴P（

.

A

）=

1

35

，∵A與

.

A

為對立事件，于是
P（A）=1-P（

.

A

）=

34

35

．
即該顧客任取3球，至少有一個(gè)紅球的概率為

34

35

．
（2）依題意，ξ的可能取值為50，60，70，80，
ξ=50表示所取4球?yàn)?白1紅（3×10+1×20=50），
∴P（ξ=50）=

C 33 • C 14

C 47

=

4

35

，
ξ=60表示所取4球?yàn)?白2紅（2×10+2×20=60），
∴P（ξ=60）=

C 23 • C 24

C 47

=

18

35

，
ξ=70表示所取4球?yàn)?紅1白（3×20+1×10=70），
∴P（ξ=70）=

C43•C31

C74

=

12

35

，
ξ=80表示所取4球全為紅球（4×20=80），
∴P（ξ=80）=

C44

C74

=

1

35

．
于是ξ的分布列為：

ξ	50	60	70	80
P	4 35	18 35	12 35	1 35

∴Eξ=50×

4

35

+60×

18

35

+70×

12

35

+80×

1

35

=

440

7

（元）．
即該顧客獲獎(jiǎng)的期望是

440

7

≈63（元）．