Question

以O(shè)為原點(diǎn),以所在直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)·=1,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,0),t∈［3,+∞),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x₀,y₀).

(1)求x₀關(guān)于t的函數(shù)x₀=f(t)的表達(dá)式,判斷函數(shù)f(t)的單調(diào)性,并證明你的判斷;

(2)設(shè)△OFG的面積S=t,若以O(shè)為中心、F為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)G,求當(dāng)||取得最小值時(shí)橢圓的方程.

Answer 1

解：(1)由題意知=(x₀-t,y₀), =(t,0),則·=t(x₀-t)=1.

解得x₀=f(t)=t+.

    設(shè)t₁＞t₂≥3,則f(t₁)-f(t₂)=(t₁+)-(t₂+)=(t₁-t₂)-=(t₁-t₂).

∵t₁-t₂＞0,t₁t₂-1＞0,t₁t₂＞0,

∴f(t₁)-f(t₂)＞0,f(t₁)＞f(t₂),函數(shù)f(t)在區(qū)間［3,+∞］上單調(diào)遞增.

(2)由S=|||y₀|=×t×|y₀|=t,得y₀=±.

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(t+,±),||²=(t+)²+.

∵函數(shù)f(t)在區(qū)間［3,+∞］上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)t=3時(shí),| |取得最小值,此時(shí)點(diǎn)F、G的坐標(biāo)分別為(3,0)、(,±).

    由題意設(shè)橢圓方程為+=1.

    由點(diǎn)G在橢圓上,得+=1,

    解得b²=9.

∴所求橢圓方程為+=1.