Question

（2013•鷹潭一模）給出以下四個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)f（x）=

3x-2

x-1

關(guān)于點(diǎn)（1，3）中心對(duì)稱；
②在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC為等腰三角形”的充要條件；
③若將函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移Φ（Φ＞0）個(gè)單位后變?yōu)榕己瘮?shù)，則Φ的最小值是

π

12

；
④已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，則當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等比數(shù)列．其中正確的結(jié)論是

①③④

．

Answer 1

分析：①由圖象變換的知識(shí)可知正確；②在△ABC中，由bcosA=acosB，可得△ABC為等腰三角形，但當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，不能推出bcosA=acosB；③由題意可得Φ=

k

2

π+

π

12

，結(jié)合Φ＞0，可得結(jié)論；④由等比數(shù)列的“片段和”仍成等比數(shù)列，可得答案．

解答：解：①函數(shù)f（x）=

3x-2

x-1

=

3(x-1)+1

x-1

=3+

1

x-1

，其圖象可由函數(shù)y=

1

x

的圖象向右平移1個(gè)單位，
向上平移3個(gè)單位得到，故函數(shù)y=

1

x

的對(duì)稱中心也由（0，0）移到點(diǎn)（1，3），
故已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，3）中心對(duì)稱，故正確；
②在△ABC中，由bcosA=acosB，可得sinBcosA=sinAcosB，即sin（A-B）=0，可得A=B，故△ABC為等腰三角形，
而當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，可能B=C，不能推出A=B，也不能推出bcosA=acosB，故不是充要條件，故錯(cuò)誤；
③若將函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

3

）的圖象向右平移Φ（Φ＞0）個(gè)單位后，解析式變?yōu)閒（x）=sin（2x-2Φ-

π

3

），
由偶函數(shù)可得2Φ+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，解得Φ=

k

2

π+

π

12

，結(jié)合Φ＞0，可得當(dāng)k=0時(shí)，Φ取最小值

π

12

，故正確；
④已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，當(dāng)公比q=1時(shí)，S_k，=ka₁，S_2k-S_k=ka₁，S_3k-S_2k=ka₁，顯然有S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等比數(shù)列，
當(dāng)公比q≠1時(shí)，S_k=

a1(1-qk)

1-k

，S_2k-S_k=

a1(1-q2k)

1-k

-

a1(1-qk)

1-k

=

a1(1-qk)

1-k

q，S_3k-S_2k=

a1(1-q3k)

1-k

-

a1(1-q2k)

1-k

=

a1(1-qk)

1-k

q²，
顯然也有S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k成等比數(shù)列，故正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．