Question

在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB=90°，PC=AC，H為PA的中點，M、N分別為棱PA，PB上的點，且PN=3NB．
（1）求證：PA⊥平面BCH；      
（2）若MN∥平面HBC，則PM：MA的值．

Answer 1

分析：（1）由面面垂直的性質(zhì)可證BC⊥平面PAC，由線面垂直的性質(zhì)證明BC⊥PA，再證PA⊥CH，由線面垂直的判定定理可證線面垂直．
（2）由線面平行可得線線平行，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出

PM

MA

．

解答：解：（1）證明：∵平面PAC⊥平面ABC，∠ACB=90°即AC⊥BC，
又平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PA，
∵H為PA的中點，PC=AC，∴CH⊥PA，又BC∩CH=C，
∴PA⊥平面BCH．
（2）∵MN∥平面HBC，MN?平面PAB，平面PAB∩平面BHC=BH，
∴MN∥BH，∴

PM

MH

=

PN

NB

=3⇒

PM

PH

=

3

4

，
∵H為PA的中點，∴

PM

PA

=

3

8

，
∴

PM

MA

=

3

5

．

點評：本題考查了面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定，考查了線面平行的性質(zhì)及平行線分線段成比例定理，考查了學生的空間想象能力與邏輯推理論證努力．