Question

（2012•許昌三模）已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）直線PA與直線PB斜率之積為-

3

4

，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線c的方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N是曲線C上任意兩點(diǎn)，且|

OM

-

ON

|=|

OM

+

ON

|，是否存在以原點(diǎn)為圓心且與MN總相切的圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則由直線PA與直線PB斜率之積為-

3

4

，建立等式，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）若|

OM

-

ON

|=|

OM

+

ON

|，則

OM

⊥

ON

．分斜率存在與不存在，結(jié)合橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，可得原點(diǎn)O到直線MN的距離恒為d=

12 7

，從而存在以原點(diǎn)為圓心且與MN總相切的圓．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則由直線PA與直線PB斜率之積為-

3

4

，得

y

x+2

×

y

x-2

=-

3

4

(x≠±2)．
整理得曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1(x≠±2)．----（4分）
（Ⅱ）若|

OM

-

ON

|=|

OM

+

ON

|，則

OM

⊥

ON

．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直線MN斜率不存在，則N（x₁，-y₁）．
由

OM

⊥

ON

得

y1

x1

×

-y1

x1

=-1，又

x12

4

+

y12

3

=1，∴x1=±

12 7

，
∴直線MN方程為x=±

12 7

．
∴原點(diǎn)O到直線MN的距離d=

12 7

．----（6分）
若直線MN斜率存在，設(shè)方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=

-8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

．（*）----（8分）
由

OM

⊥

ON

得

y1

x1

×

y2

x2

=-1，整理得（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
（*）式代入：（k²+1）×

4m2-12

4k2+3

+km×

-8km

4k2+3

+m²=0
解得7m²=12（k²+1）．----（10分）
此時(shí)原點(diǎn)O到直線MN的距離d=

|m|

k2+1

=

12 7

．
故原點(diǎn)O到直線MN的距離恒為d=

12 7

．
∴存在以原點(diǎn)為圓心且與MN總相切的圓，方程為x2+y2=

12

7

．----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．