Question

（本小題滿分13分）如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱長都是2，又平面

ABC，D、E分別是AC、CC₁的中點。

（1）求證：平面A₁BD；

（2）求二面角D—BA₁—A的余弦值；

（3）求點B₁到平面A₁BD的距離。

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：以DA所在直線為軸，過D作AC 的垂線為軸，DB所在直線為軸建立空間直角坐標系

則A(1,0,0),C(),E()，A₁(),C₁()，B()

，,

∵ ∴    ………………………………………………2分

 ∴   …………………………………………4分

又A₁D與BD相交

∴AE⊥面A₁BD             ……………………………………………………………5分

（其它證法可平行給分）

(Ⅱ)設(shè)面DA₁B的法向量為

由,，取……………………………7分

設(shè)面AA₁B的法向量為，

則由，取 ………………9分

故二面角的余弦值為       …………………………………10分

（Ⅲ）,平面A₁BD的法向量取

則B₁到平面A₁BD的距離為    …………………………13分

【解析】略