Question

已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是的角平分線上的一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，則|OM|的取值范圍是(     )

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

解：如圖，延長(zhǎng)PF₂，F(xiàn)₁M，交與N點(diǎn)，∵PM是∠F₁PF₂平分線，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M為F₁F₂中點(diǎn)，
連接OM，∵O為F₁F₂中點(diǎn)，M為F₁F₂中點(diǎn)
∴|OM|=|F₂N|=||PN|﹣|PF₂||=||PF₁|﹣|PF₂||
∵在橢圓中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）
則|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a﹣ex₀，
∴||PF₁|﹣|PF₂||=|a+ex₀+a﹣ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P點(diǎn)在橢圓上，
∴|x₀|∈（0，a]，
又∵當(dāng)|x₀|=a時(shí)，F(xiàn)₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故選A．