Question

已知5瓶奶粉中只有一瓶不合格奶粉，不合格奶粉中含有三聚氫胺，需要通過化驗(yàn)來確定哪瓶奶粉不合格．下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定不合格奶粉為止．
方案乙：先任取3瓶，將其中取出的奶粉混合在一起化驗(yàn)，若含有三聚氫胺則表明不合格奶粉在這三瓶之中，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定不合格奶粉為止；否則在其他兩瓶中任取1只化驗(yàn)．
（1）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；
（2）ξ表示方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望．

Answer 1

分析：（1）由題意得到這兩種方案的化驗(yàn)次數(shù)，算出在各個(gè)次數(shù)下的概率，寫出化驗(yàn)次數(shù)的分布列，求出方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率．
（2）根據(jù)上一問乙的化驗(yàn)次數(shù)的分布列，利用期望計(jì)算公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)η表示方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)．則
P(η=i)=

1

5

(i=1，2，3)，P(η=4)=

2

5

P(ξ=2)=

3

5

，P(ξ=3)=

2

5

P(η≥ξ)=1-P(η=1)•P(ξ=2)-P(η=1)•P(ξ=3)-P(η=2)•P(ξ=3)=

18

25

．
（2）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，
∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
即Eξ=

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：期望是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要概念之一，是反映隨機(jī)變量取值分布的特征數(shù)，學(xué)習(xí)期望將為今后學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)做鋪墊．同時(shí)，它在市場(chǎng)預(yù)測(cè)，經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)，風(fēng)險(xiǎn)與決策等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，為今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響．