Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線(xiàn)y=x²上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同點(diǎn)A，B滿(mǎn)足OA⊥OB，則直線(xiàn)AB必過(guò)定點(diǎn)（ ）
A．（1，0）
B．（0，1）
C．（2，0）
D．（0，2）

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出AB的方程，A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而把直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而利用拋物線(xiàn)方程求得y₁y₂=的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)AO⊥BO推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，求得b，即可求出結(jié)果．
解答：解：顯然直線(xiàn)AB的斜率存在，記為k，AB的方程記為：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線(xiàn)方程代入y=x²得：x²-kx-b=0，則有：
△=k²+4b＞0①，x₁+x₂=k②，x₁x₂=-b③，又y₁=x₁²，y₂=x₂²
∴y₁y₂=b²；
∵AO⊥BO，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
得：-b+b²=0且b≠0，
∴b=1，
∴直線(xiàn)AB比過(guò)定點(diǎn)（0，1）
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及到直線(xiàn)與圓錐線(xiàn)的問(wèn)題一般是聯(lián)立方程，設(shè)而不求，屬于中檔題．