Question

（本小題滿分12分）
設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實數(shù)根；②函數(shù)”
（I）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若 的定義域為D，則對于任意成立。試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個實數(shù)根；
（III）對于M中的函數(shù) 的實數(shù)根，求證：對于定義域中任意的當(dāng)且

Answer 1

（1）因為
所以
又因為當(dāng)，所以方程有實數(shù)根0，
所以函數(shù)是集合M中的元素。                  …………4分
（2）假設(shè)方程存在兩個實數(shù)根，
則            …………5分
不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)，
使得等式成立，                   …………7分
因為
與已知只有一個實數(shù)根；
…………9分
（3）不妨設(shè)為增函數(shù)，
所以
又因為為減函數(shù)，              …………10分
所以             …………11分
所以，
即
所以
…………12分

略