Question

設(shè)x，y∈R，i，j為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，若向量，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8．

   （1）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；

 （2）過點(diǎn)（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

見解析

解析:

解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8 ∴點(diǎn)M（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn)F₁（0，－2），F₂（0，2）的距離之和為8 ∴點(diǎn)M的軌跡C為F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為

（2）∵l過y軸上的點(diǎn)（0，3），若直線l是y軸，則A、B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)，這時(shí)。

∴P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾，

∴直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y＝kx＋3，A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)

由恒成立．

且

∵，∴四邊形OAPB是平行四邊形

若存在直線l使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，即

∵

即∴存在直線使得四邊形OAPB為矩形．