Question

若函數(shù)f（x）=x³-3x+a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是

（-2，2）

．

Answer 1

分析：求導，令導數(shù)為零，求出函數(shù)的極大值和極小值，要使函數(shù)f（x）=x³-3x+a有3個不同的零點，只需函數(shù)的極大值大于零，且極小值小于零，解不等式組即可求得結(jié)果．

解答：解：∵f′（x）=3x²-3=0
解得x=1或x=-1，
當x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-1）、（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故當x=1時，f（x）取極小值-2+a，當x=-1時，f（x）取極大值2+a，
∵f（x）=x³-3x+a有三個不同零點，
∴

-2+a＜0 2+a＞0

，解得-2＜a＜2
∴實數(shù)a的取值范圍是：（-2，2）．
故答案為：（-2，2）

點評：本題主要考查函數(shù)零點的判定方法，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性，要使函數(shù)有三個零點，只要保證函數(shù)的極大值大于零和極小值小于零，是解題的關鍵，屬中檔題．